不可能ではありませんが、歯科医療に従事する立場からは、絶対におすすめできません。
歯や歯茎が傷つくリスクが高く、また必ず取り残しが生じます。
歯科医院で使用するスケーラーは、歯石を取るための専用の道具であり、歯や歯茎を傷つける心配もありません。必ず、歯科医院で歯石を取ってもらいましょう。

歯茎が腫れている場合には、痛みを感じたり、出血したりすることがあります。ただ、その後お口の環境を改善し炎症和らげることで、痛み・出血も軽減していきます。
その他、歯茎が下がって歯の根が露出している場合、何年も歯石を放置していた場合も、痛むことがあります。つまり、歯石取りが痛い場合には、歯や歯茎に何らかの問題があると言えます。
あまりに痛い場合には、麻酔をかけて歯石取りを行うことも可能です。

歯茎が腫れている場合、歯石除去後に歯がしみたり、出血したりといったことがあります。ただ、これらは歯石の除去によって炎症を改善していくまでの過程の症状ですので、多少は我慢していただく必要があります。
また、長く歯石を放置していた方の場合、歯石取りをした後に「歯の裏側がデコボコする、歯が小さくなった」と舌で感じることがあります。これは歯石を取って久しぶりに歯が露わになったことで生じる違和感です。歯が削れて形が変わったわけではありませんので、ご安心ください。

厳密に「歯石取りの処置だけを受ける」という場合には、自費診療扱いとなります。
歯科医による診察、各種検査を加えた「歯周病治療」として扱う場合に、保険診療で歯石取り・クリーニングが受けられます。そのため、治療の効果を確認するためにも、何度か通っていただく必要があるのです。